Forschung

Die Forschung am Lehrstuhl beschäftigt sich mit aktuellen Themen der numerischen und angewandten Analysis. Dabei werden insbesondere moderne Verfahren der multivariaten bzw. hoch-dimensionalen Approximationstheorie entwickelt, analysiert und validiert. Schwerpunktmäßig werden gitterfreie, Kern-basierte Methoden wie radiale Basisfunktionen, Moving-Least-Squares und Partikelverfahren betrachtet. Anwendungen finden sich im Bereich der Lösung partieller Differentialgleichungen, der Lerntheorie und der Datenanalyse.  

Beispiele aktueller Foschunsschwerpunkte sind:

1. Multivariate Approximationstheorie mit radialen Basisfunktionen, Moving-Least-Squares und tiefen Neuronalen Netzen. Hier geht es um die Entwicklung von Daten-getriebenen, stabilen und effizienten Verfahren zur Berechnung von Approximationen in niedrig-dimensionalen Räumen. Es werden zum Beispiel Multilevel-Verfahren mit radialen Basisfunktionen mit kompaktem Träger untersucht und entwickelt. Im Gegensatz zu anderen Multiskalenmethoden wie z.B. Wavelets arbeiten diese Verfahren mit beliebig verteilten Datenmengen.  
 
2. Kern-basierte Multilevel-Verfahren zur hoch-dimensionalen Approximation. Neben klassischen Ansätzen mit radialen Basisfunktionen wird hier die Kombination mit sogenannten dünnen Gittern (sparse grids) untersucht und analysiert. Im Gegensatz zu klassischen, Gitter-basierten Verfahren lässt sich der sogenannte Fluch der Dimension abschwächen, sodass sich die so entwickelten Verfahren in höher-dimensionalen Räumen verwenden lassen. 
   
 
3. Die numerische Lösung partieller Differentialgleichung auf Oberflächen und berandeten Gebieten. Hier kommen wieder Diskretisierungsverfahren basierend auf radialen Basisfunktionen zum Einsatz, da diese allein von Punkt-Informationen abhängen. Sie lassen sich insbesondere bei veränderlichen Geometrien und bei unvollständigen Daten anwenden. Es werden Verfahren, die auf Galerkin- bzw. Kollokationsmethoden basieren, untersucht und verwendet. 
   
   
 
4. Gitterfreie Verfahren zur numerischen Lösung von Problemen der Strömungsmechanik. Es werden Lösungsverfahren für klassische, strömungsmechanische Probleme entwickelt. Besonderer Augenmerk liegt dabei auf Problemen mit freien Rändern. Zugrunde liegende Methoden basieren auf Kern-basierten Diskretisierungen sowohl in der Eulerschen als auch Lagrangen Formulierung. Es werden insbesondere Partikelverfahren wie SPH betrachtet. Ferner werden Verfahren zur Strömung-Struktur Kopplung entwickelt und analysiert.